janeiro | 2009 | Campo de Arroz

terça-feira, 6 janeiro, 2009

Infusão Intravenosa – Um Compartimento

Filed under: Equações diferenciais, Farmacocinética — Campo de Arroz @ 17:50

http://campodearroz.com/blog/equacoes-diferenciais/infusao-intravenosa-um-compartimento

Entre as vias de administração de fármacos, temos as parenterais, que incluem: intravenosa, subcutânea e intramuscular. Soluções injetadas intravenosamente podem ser dadas em bolus (injetadas completamente de uma só vez) ou infudidas lentamente a uma taxa constante no plasma.

Usando o modelo de um compartimento, podemos representar a situação de infusão intravenosa pelo esquema abaixo:

Infusão - Um compartimento

Seguindo o princípio

Taxa de variação da concentração da droga no compartimento = Taxa de entrada da droga – Taxa de saída da droga

E considerando que,

A droga é infudida no sangue a uma taxa constante (Taxa de ordem zero)
A eliminação da droga é diretamente proporcional a concentração desta no compartimento (Taxa de eliminação de primeira ordem)

Temos que:

$\displaystyle\frac{dC_{p}}{dt}=I-kC_{p}$

Esta equação diferencial, por ser separável, pode ser resolvida por integração direta. Observe que a concentração inicial da droga no compartimento (tempo zero) é zero.

$\displaystyle\frac{dC_{p}}{I-kC_{p}}=dt$
$\displaystyle\int_{0}^{C_{p}}\frac{dC_{p}}{I-kC_{p}} = \int_{0}^{t}dt$ (1)

A integral do segundo membro é trivial. Já a do primeiro membro pode ser resolvida por uma substituição simples:

$u=I-kC_{p}$ (2)
$\displaystyle\frac{d}{dC_{p}}(u)=\frac{d}{dC_{p}}(I)-\frac{d}{dC_{p}}(kC_{p})$
$\displaystyle\frac{du}{dC_{p}}=0-k$
$\displaystyle dC_{p}=-\frac{du}{k}$ (3)

A substituição exige a mudança do intervalo de integração:

$C_{p}=0 \Rightarrow u=R$ (4)
$C_{p}=C_{p} \Rightarrow u=I-kC_{p}$ (5)

Substituindo (2), (3), (4) e (5) em (1):

$\displaystyle\int_{I}^{I-kC_{p}}\frac{-\frac{du}{k}}{u}=t-0$
$\displaystyle-\frac{1}{k}\int_{I}^{I-kC_{p}}\frac{du}{u}=t$
$\displaystyle-\frac{1}{k}ln(\frac{I-kC_{p}}{I})=t$
$ln(\frac{I-kC_{p}}{I})=-kt$
$\frac{I-kC_{p}}{I}=e^{-kt}$
$I-kC_{p}=Ie^{-kt}$
$\displaystyle C_{p}=\frac{I}{k}(1-e^{-kt})$ , que representa a equação concentração plasmática x tempo para este modelo

No começo $C_{p}=0$ e, portanto:

$\displaystyle\frac{dC_{p}}{dt}=I$

o que indica que a função $C_{p}(t)$ é crescente no tempo t=0. A medida que o tempo prossegue, $\displaystyle\frac{dC_{p}}{dt}$ vai dimuindo, mas continua positiva, mostrando que a função $C_{p}(t)$ é crescente em todo o seu domínio. Quando t tende ao infinito, temos que a taxa de infusão se iguala a taxa de eliminação do fármaco, situação que é chamada de Estado de Equilíbrio estável (Steady State). A concentração plasmática tende a um valor denominado $C_{SS}$ . Ele é calculado por: